傅里叶变换、自相关函数、频响函数与功率谱密度

自相关(Autocorrelation)函数
由于土木工程领域（或者说我短时间内能接触到的领域）只涉及到实信号，所以先仅考虑实信号。 自相关的直白定义是一个信号与其本身在不同时间点上的互相关，即将一个信号平移一段距离后，与原来信号的互相关。
相应地，信号$x(t)$自相关函数的定义也就呼之欲出：$$R ( \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ( t ) x ( t - \tau ) d t$$
可以看出，自相关函数包含平移，乘积和积分三个步骤。

另外，随机信号自相关函数的傅里叶变换即为信号的功率谱密度（Power Spectral Density）。详细见本文第3部分功率谱。

• 自相关和卷积的关系
  卷积与自相关很相似，唯一不同之处在于其在平移，乘积和积分之前多了一个卷的操作。 $$x * y ( \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ( t ) y ( \tau - t) d t$$ 亦可将$x * y ( \tau ) $写成$x(t) * y(t)$。
  可以发现，若将卷积的卷进行操作一番，即可得到两者的关系：
  $$R(\tau) = x(t) * x(-t)$$
  

傅里叶变换(Fourier Transform)

• 傅里叶级数：符合狄利克雷条件（R域上仅有限点不可导的周期信号）的周期信号$f _ { t }$(周期为$T _ { 1 }$，频率为$f = 1 / T _ {1}$，角频率为$\omega = 2\pi / T _ {1}$)可展开傅里叶级数：$$f ( t ) = a _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ a _ { n } \cos \left( n \omega _ { 1 } t \right) + b _ { n } \sin \left( n \omega _ { 1 } t \right) \right]$$
  信号按照傅里叶级数展开后，可分解成为直流分量$a _ { 0 }$以及各个正余弦分量$a _ { n }$和$b _ { n }$.
  $$\begin{array} { c } { a _ { 0 } = \frac { 1 } { T _ { 1 } } \int _ { T _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } + T _ { 1 } } f ( t ) d t } \ { a _ { n } = \frac { 2 } { T _ { 1 } } \int _ { T _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } + T _ { 1 } } f ( t ) \cos \left( n \omega _ { 1 } t \right) d t } \ { b _ { n } = \frac { 2 } { T _ { 1 } } \int _ { T _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } + T _ { 1 } } f ( t ) \sin \left( n \omega _ { 1 } t \right) d t } \end{array}$$
  合并同类项可写成$$f ( t ) = c _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { n } \cos \left( n \omega _ { 1 } t + \varphi _ { n } \right)$$或$$f ( t ) = d _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } d _ { n } \sin \left( n \omega _ { 1 } t + \theta _ { n } \right)$$ 可将$c _ {n}或d _ {n}$与$n\omega _ {1}$的对应关系绘制在二维坐标上，得到的就是周期信号的幅度频谱(要完全描述频率分量还需绘制相位谱,但是土木工程中并不关注相位,所以在此不进行叙述)，这样就初步完成了时域到频域的转换。
  通过欧拉公式可进一步写成指数形式：$F _ { n } = \frac { 1 } { T _ { 1 } } \int _ { T _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } + T _ { 1 } } f ( t ) e ^ { - j n a _ { 1 } t } d t$

• 傅里叶变换
  对于非周期信号，可将其视为周期无限大的周期信号。$T _ { 1 }$无限大就意味着频率$\omega = 2\pi / T _ {1}$间隔无限小，因此非周期信号的幅度频谱图线就由离散变成了连续，而谱线长度$F _ {n}$趋近于0，按照周期信号计算的频谱也就消失了。但是从物理上来说信号存在，则其并由对应的能量（每个频率都有能量），因此引入了频谱密度函数。从傅里叶级数可导出傅里叶变换。 $$\begin{array} { c } { F ( \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t ) e ^ { - j \omega t } d t } \ { f ( t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } F ( \omega ) e ^ { j \omega t } d \omega } \end{array}$$

傅里叶变换又分为离散变换和非离散变换,对应的时域-频域关系如下:

周期信号的频谱是离散的，这是因为周期信号一定可以用一组整数倍频率的三角函数表示，所以对应的也就是傅里叶级数，而非傅里叶变换。

工程中，采集到的信号在时域上都是离散非周期的，也就是说，对应的变换是DTFT离散时间傅里叶变换，周期为$2\pi$。

然后可引入DFT，离散傅里叶变换。DFT的运算过程如下： $$X ( k ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j \pi n t / N }$$ 计算机上进行的DFT运算，输入值是示波器经过ADC后采集到的采样值（时域上的离散信号），输入采样点的数量决定了转换的计算规模。因为输入的信号规模有限，所以输出的频谱一样是有限的，但由于傅立叶变换的共轭对称性造成一半的数据冗余。
FFT则是利用DFT中旋转因子$W _ { N } = e ^ { - j \frac { 2 \pi } { N } }$的周期性、对称性和可约性进行蝶式运算，大大减少计算量。例如采样点的数量是$N$，则DFT的复杂度为$N^2$，而FFT的运算复杂度则为$N * \lg N$。

以某实际信号为例，采样得到$N$个采样点，进行FFT（为了方便进行FFT蝶式运算，$N$一般为2的整数次方）。
​ 假设采样频率为$F _ {s}$，信号频率为$F$，采样点数为$N$。FFT之后，得到的结果为$N$点的复数，每一个点对应一个频率。该点的模即为该频率下的幅度特性。
​ 而这个幅度特性与原始信号的幅度有什么关系呢？
​ 根据傅里叶变换的定义，FFT之后，所得结果乘以$\frac { 2 } { N }$即为时域幅值（出现2是因为计算机FFT得到的是双边谱）。

• 单边谱和双边谱
  单边谱最早是指傅里叶级数的三角形式，相对于复指数形式来说，其频率成分总是分布在正半频率轴。相比较而言，复指数形式由于在正负半轴均有频率成分，故被称为双边谱。且双边谱的幅值为单边谱的一半，这一点可以推导出来。 由于工程应用中，负频率没有意义的缘故，故在做DFT/FFT处理之后，也习惯性地舍去负频率，将正频率处分量加倍。

• 傅里叶变换的纵坐标
  一般状况下，傅里叶变换得到的复数的模即为频谱的幅值。 $$F \left( \mathrm { e } ^ { j \omega } \right) = a + i b \ \left| F \left( \mathrm { e } ^ { j \omega } \right) \right| = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$$
  可见上文“以某实际信号为例”部分。其幅度特性与时域信号的幅度特性应该是一致的。

• 分辨率，采样点数与频谱宽度
  继续以$N$个点为例，FFT采样频率为$F _ {s}$，则中间$N-1$个点被分为$N$等份，第$n$个点所表示的频率为$F _ {n} = (n-1) \frac {F _ {s}} {N}$。而$F _ {n}$所能分到的频率为$\frac {F _ {s}} {N}$，亦即频率分辨率为$\frac {F _ {s}} {N}$。若采样频率为$512 Hz$，采样点数为$512$点，则频率分辨率为$1 Hz$；若采样点数为$1024$点，则频率分辨率为$0.5 Hz$。 如果要提高频率分辨率，则必须增加采样点数，也即采样时间，两者间是倒数关系。 另，根据采样定理，FFT之后的频谱宽度最大只能是信号实际最大频率的$\frac {1} {2}$。
  MATLAB中，fft(signal,N)为FFT的命令，N即为采样点数，但这仅仅是机械的给定了采样点数，须得自行换算频率分辨率。

功率谱
信号的功率谱密度为信号频谱的平方，根据帕斯维尔定理，实信号的能量等于平均功率谱即：
$$E = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \left| F \left( \mathrm { e } ^ { j \omega } \right) \right| ^ { 2 } d \omega$$

• 功率谱与自相关函数的关系
  考虑这样一个信号$x(t)\Longleftrightarrow X(f)$，其功率谱为$|X(f)|^2$，功率谱的逆变换为$\rho _ { x } ( \tau )$，推导过程如下：
  $$| X ( f ) | ^ { 2 } = X ( f ) X ^ { * } ( f ) \Longleftrightarrow x ( t ) * x ^ { * } ( - t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { * } ( t ) x ( t + \tau ) d t = \rho _ { x } ( \tau )$$
  注意到，频域乘积对应时域卷积，$X(f)X^ * (f)\Longleftrightarrow x(t) * x^ * (-t)$。
  

功率谱密度的纵坐标有无特殊物理含义？

频响函数(Frequency Response Function, FRF)
频响函数的定义是结构的输出响应和输入激励力之比。
输入激励力自然毋庸讳言，输出响应则可以是位移、速度或者加速度。

• 频率响应(Frequency Response) Frequency Response is a plot of magnitude M and angle $\phi $ as a function of frequency $\omega $.
  频率响应是从输入到输出的一个与输入频率$\omega $相关的映射。
  用频率为$\omega $的正弦信号去激励，得到响应与$\omega $的比值。