傅里叶变换、自相关函数、频响函数与功率谱密度

自相关(Autocorrelation)函数
由于土木工程领域（或者说我短时间内能接触到的领域）只涉及到实信号，所以先仅考虑实信号。 自相关的直白定义是一个信号与其本身在不同时间点上的互相关，即将一个信号平移一段距离后，与原来信号的互相关。
相应地，信号$x\left(t\right)$自相关函数的定义也就呼之欲出：$$R\left(\tau \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)x(t-\tau )dt$$
可以看出，自相关函数包含平移，乘积和积分三个步骤。

另外，随机信号自相关函数的傅里叶变换即为信号的功率谱密度（Power Spectral Density）。详细见本文第3部分功率谱。

• 自相关和卷积的关系
  卷积与自相关很相似，唯一不同之处在于其在平移，乘积和积分之前多了一个卷的操作。 $$x\ast y\left(\tau \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)y(\tau -t)dt$$ 亦可将$x\ast y\left(\tau \right)$写成$x\left(t\right)\ast y\left(t\right)$。
  可以发现，若将卷积的卷进行操作一番，即可得到两者的关系：
  $$R\left(\tau \right)=x\left(t\right)\ast x(-t)$$
  

傅里叶变换(Fourier Transform)

• 傅里叶级数：符合狄利克雷条件（R域上仅有限点不可导的周期信号）的周期信号$f_t$(周期为$T_1$，频率为$f=1/T_1$，角频率为$\omega =2\pi /T_1$)可展开傅里叶级数：$$f\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_n\cos \left(n{\omega }_{1}t\right)+b_n\sin \left(n{\omega }_{1}t\right)]$$
  信号按照傅里叶级数展开后，可分解成为直流分量$a_0$以及各个正余弦分量$a_n$和$b_n$.
  $$\begin{array}{c}{a}_0=\frac{1}{T_1}{\int }_{T_1}^{t_0+T_1}f\left(t\right)dt{a}_n=\frac{2}{T_1}{\int }_{T_1}^{t_0+T_1}f\left(t\right)\cos \left(n{\omega }_{1}t\right)dt{b}_n=\frac{2}{T_1}{\int }_{T_1}^{t_0+T_1}f\left(t\right)\sin \left(n{\omega }_{1}t\right)dt\end{array}$$
  合并同类项可写成$$f\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n\cos (n{\omega }_{1}t+{\phi }_n)$$或$$f\left(t\right)=d_0+\sum _{n=1}^{\infty }{d}_n\sin (n{\omega }_{1}t+{\theta }_n)$$ 可将$c_n或d_n$与$n{\omega }_1$的对应关系绘制在二维坐标上，得到的就是周期信号的幅度频谱(要完全描述频率分量还需绘制相位谱,但是土木工程中并不关注相位,所以在此不进行叙述)，这样就初步完成了时域到频域的转换。
  通过欧拉公式可进一步写成指数形式：$F_n=\frac{1}{T_1}{\int }_{T_1}^{t_0+T_1}f\left(t\right)e^{-jn{a}_{1}t}dt$

• 傅里叶变换
  对于非周期信号，可将其视为周期无限大的周期信号。$T_1$无限大就意味着频率$\omega =2\pi /T_1$间隔无限小，因此非周期信号的幅度频谱图线就由离散变成了连续，而谱线长度$F_n$趋近于0，按照周期信号计算的频谱也就消失了。但是从物理上来说信号存在，则其并由对应的能量（每个频率都有能量），因此引入了频谱密度函数。从傅里叶级数可导出傅里叶变换。 $$\begin{array}{c}F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dtf\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$

傅里叶变换又分为离散变换和非离散变换,对应的时域-频域关系如下:

周期信号的频谱是离散的，这是因为周期信号一定可以用一组整数倍频率的三角函数表示，所以对应的也就是傅里叶级数，而非傅里叶变换。

工程中，采集到的信号在时域上都是离散非周期的，也就是说，对应的变换是DTFT离散时间傅里叶变换，周期为$2\pi$。

然后可引入DFT，离散傅里叶变换。DFT的运算过程如下： $$X\left(k\right)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-j\pi nt/N}$$ 计算机上进行的DFT运算，输入值是示波器经过ADC后采集到的采样值（时域上的离散信号），输入采样点的数量决定了转换的计算规模。因为输入的信号规模有限，所以输出的频谱一样是有限的，但由于傅立叶变换的共轭对称性造成一半的数据冗余。
FFT则是利用DFT中旋转因子$W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$的周期性、对称性和可约性进行蝶式运算，大大减少计算量。例如采样点的数量是$N$，则DFT的复杂度为$N^2$，而FFT的运算复杂度则为$N\ast \lg N$。

以某实际信号为例，采样得到$N$个采样点，进行FFT（为了方便进行FFT蝶式运算，$N$一般为2的整数次方）。
​ 假设采样频率为$F_s$，信号频率为$F$，采样点数为$N$。FFT之后，得到的结果为$N$点的复数，每一个点对应一个频率。该点的模即为该频率下的幅度特性。
​ 而这个幅度特性与原始信号的幅度有什么关系呢？
​ 根据傅里叶变换的定义，FFT之后，所得结果乘以$\frac{2}{N}$即为时域幅值（出现2是因为计算机FFT得到的是双边谱）。

• 单边谱和双边谱
  单边谱最早是指傅里叶级数的三角形式，相对于复指数形式来说，其频率成分总是分布在正半频率轴。相比较而言，复指数形式由于在正负半轴均有频率成分，故被称为双边谱。且双边谱的幅值为单边谱的一半，这一点可以推导出来。 由于工程应用中，负频率没有意义的缘故，故在做DFT/FFT处理之后，也习惯性地舍去负频率，将正频率处分量加倍。

• 傅里叶变换的纵坐标
  一般状况下，傅里叶变换得到的复数的模即为频谱的幅值。 $$F\left(e^{j\omega }\right)=a+ib\left|F\left(e^{j\omega }\right)\right|=\sqrt{a^2+b^2}$$
  可见上文“以某实际信号为例”部分。其幅度特性与时域信号的幅度特性应该是一致的。

• 分辨率，采样点数与频谱宽度
  继续以$N$个点为例，FFT采样频率为$F_s$，则中间$N-1$个点被分为$N$等份，第$n$个点所表示的频率为$F_n=(n-1)\frac{F_s}{N}$。而$F_n$所能分到的频率为$\frac{F_s}{N}$，亦即频率分辨率为$\frac{F_s}{N}$。若采样频率为$512Hz$，采样点数为$512$点，则频率分辨率为$1Hz$；若采样点数为$1024$点，则频率分辨率为$0.5Hz$。 如果要提高频率分辨率，则必须增加采样点数，也即采样时间，两者间是倒数关系。 另，根据采样定理，FFT之后的频谱宽度最大只能是信号实际最大频率的$\frac{1}{2}$。
  MATLAB中，fft(signal,N)为FFT的命令，N即为采样点数，但这仅仅是机械的给定了采样点数，须得自行换算频率分辨率。

功率谱
信号的功率谱密度为信号频谱的平方，根据帕斯维尔定理，实信号的能量等于平均功率谱即：
$$E=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|F\left(e^{j\omega }\right)\right|}^{2}d\omega$$

• 功率谱与自相关函数的关系
  考虑这样一个信号$x\left(t\right)⟺X\left(f\right)$，其功率谱为$|X\left(f\right){|}^2$，功率谱的逆变换为${\rho }_x\left(\tau \right)$，推导过程如下：
  $$|X\left(f\right){|}^2=X\left(f\right)X^{\ast }\left(f\right)⟺x\left(t\right)\ast x^{\ast }(-t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{\ast }\left(t\right)x(t+\tau )dt={\rho }_x\left(\tau \right)$$
  注意到，频域乘积对应时域卷积，$X\left(f\right)X^{\ast }\left(f\right)⟺x\left(t\right)\ast x^{\ast }(-t)$。
  

功率谱密度的纵坐标有无特殊物理含义？

频响函数(Frequency Response Function, FRF)
频响函数的定义是结构的输出响应和输入激励力之比。
输入激励力自然毋庸讳言，输出响应则可以是位移、速度或者加速度。

• 频率响应(Frequency Response) Frequency Response is a plot of magnitude M and angle $\varphi$ as a function of frequency $\omega$.
  频率响应是从输入到输出的一个与输入频率$\omega$相关的映射。
  用频率为$\omega$的正弦信号去激励，得到响应与$\omega$的比值。